Statistika dasar

Untuk file asli boleh inbox fia FB nanti bisa saya lampirkan ^_^

BAB 1

PENGERTIAN STATISTIK DESKRIPTIF

1.1. Arti dan Kegunaan Data

Mengamati kehidupan sehari-hari dari seseorang/individu dapat dikumpulkan informasi mengenai berbagai hal tentang individu tersebut, misalnya: besarnya pendapatan perbulan, besarnya pengeluaran untuk makanan, minuman, sandang, perumahan dan lainnya perbulan. Begitu juga dalam sebuah rumah tangga, selain informasi tersebut di atas, informasi lainnya yang dapat dikumpulkan adalah antara lain: jumlah anak yang dimiliki, jumlah anggota rumah tangga seluruhnya, pendidikan kepala rumah tangga dan anggota rumah tangga lainnya, status kepemilikan rumah/tempat tinggal, jumlah kendaraan bermotor yang dimiliki dan lain sebagainya.

Dalam skala besar, mengumpulkan informasi seperti tersebut di atas dari seluruhrumah tangga yang ada di negara ini juga dapat dilakukan. Dari hasil pengumpulan data ini dapat diketahui antara lain mengenai: jumlah penduduk seluruhnya, jumlah penduduk menurut propinsi, jumlah penduduk menurut tingkat pendidikan, jumlah rumah tangga, dan sebagainya. Data ini dapat dipakai sebagai acuan/dasar bagi pemerintah atau lembaga lainnya untuk merencanakan suatu program, mendapatkan solusi dari suatu permasalahan, mengambil suatu keputusan, dilakukan suatu kebijakan, dan sebagainya. Data yang dikumpulkan dapat dilakukan di berbagai bidang misalnya: perdagangan, perindustrian, kependudukan, sosial, jasa, pertanian, keuangan, pendidikan, dan sebagainya.

Statistik Deskriptip:

-       mengumpulkan data/informasi;

-       mengolah data hasil pengumpulan;

-       menyajikan data hasil pengolahan;

-       menganalisis data.

1.2. Tipe Skala Pengukuran Data

a.         Skala Nominal

            Ada 2 atau lebih spesifikasi

                 Contoh:    -      Laki-laki ; Perempuan

-        Gemuk ; kurus

-      Besar ; sedang ; kecil

-         Baik ; sedang ; buruk

b.        Skala Ordinal

              Data yang diukur mempunyai urutan kualitas

            Contoh:      -    ranking 1 ; ranking 2 ; ranking 3

-   Jenderal ; Brigjen ; Letjen

-     Gol IV ; Gol III ; Gol II ; Gol I

c.         Skala Interval

Contoh:     ukuran temperatur udara 0⁰ Fahrenheit = - 18⁰ Celcius

                        0⁰ Fahrenheit bukan berarti tidak ada temperatur

d.        Skala Ratio

Contoh: mengukur panjang, lebar, berat, tinggi, isi, dan sebagainya.

1.3. Pengumpulan dan Pengolahan Data

Pengumpulan Data

a.       Sensus

Mengumpulkan data dari seluruh obyek pengamatan/populasi.

b.      Survei

Mengumpulkan data dari sebagian obyek pengamatan/sebagian dari populasi.

Sebagian dari populasi = sampel

c.       Eksperimen

d.      Studi Kasus

Perbedaan Sensus dan Survei

Sensus ® Populasi 1.      - Waktu - Biaya                          Besar - Tenaga 2.     Menyeluruh 3.     Tingkat kesalahan (error) nya kecil 4.     Kurang rinci Rata-rata (=m) Variance (=s2)               Parameter Proporsi (=P) Xi = Variabel yang diteliti (seluruhnya) N = Jumlah seluruh variabel tersebut dalam populasi Ragam/variance (X)= s2= Simpangan baku=standard deviasi=

Survei ® Sampel 1.      - Waktu - Biaya                       Kecil - Tenaga 2.      Tidak menyeluruh 3.      Errornya bisa besar 4.      Rinci Rata-rata (=) Variance (=S2)               Statistik Proporsi (=p) Xi =  Sebagian dari variabel yang diambil secara random n  =  Jumlah sampel yang diambil dari populasi Ragam/variance (X)= S2= Simpangan baku=standard deviasi=

Data menurut sifatnya:                       - kuantitatif

                                                - kualitatif

Syarat data yang baik:            - obyektif

                                                - representatif

                                                - reliabilitas

                                                - tepat waktu (up to date)

                                                - relevan

Sumber data:                           - primer

                                                - sekunder

Menurut waktu pengumpulannya:      - cross section

- times series

Pengertian Statistik:

Arti sempit: data ringkasan berbentuk angka

Statistics : ilmu statistik diterjemahkan sebagai statistika

Arti luas : suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan/pengelompokkan, penyajian, dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh.

Statistik ada dua:

-       Statistik Deskriptip

-       Statistik Inferensia

Pengolahan Data

Data yang sudah dikumpulkan dari hasil sensus atau survei sebelum diolah terlebih dahulu dilakukan pemeriksaan (editing). Setelah editing kemudian pengolahan.

 1.4. Penyajian Data

Data hasil pengolahan disajikan dalam berbagai bentuk penyajian dengan tujuan agar obyek pengamatan dapat dengan jelas dipahami/dimengerti oleh pemakai data. Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk:

a.         Tabel:

- tabel frekuensi

- tabel distribusi frekuensi

b.         Grafik:

- Grafik Batang

- Grafik Lingkaran

- Grafik Garis

- Grafik Gambar

1.4.1. Tabel Frekuensi dan Grafik

Tabel:  - tabel ikhtisar

       - tabel referensi

Tabel ikhtisar juga dinamakan tabel naskah (text table). Tabel ikhtisar umumnya berbentuk singkat, sederhana dan mudah dimengerti. Fungsi tabel sedemikian itu untuk memberi gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian.

Tabel  referensi sebenarnya memiliki fungsi sebagai “gudang keterangan” karena tabel itu memberi keterangan yang terperinci dan disusun khusus guna kepentingan referensi. Tabel-tabel yang terdapat dalam laporan sensus umumnya merupakan tabel yang memberi keterangan secara umum.

Tabel ikhtisar seringkali diperoleh dari tabel referensi atau didasarkan pada beberapa tabel ikhtisar lainnya.

Jenis tabel:     - tabel 1 arah

                 - tabel 2 arah

                 - tabel 3 arah atau lebih

Struktur tabel:

1.      Nama (judul) tabel menunjukkan: mengenai apa, dimana, dan kapan.

2.      Badan tabel: berisikan data dilengkapi dengan unit/satuannya.

3.      Sumber data, dicantumkan dibagian bawah tabel.

4.      Diberi nomor kolom pada setiap kolom

Penyajian data dengan tabel bisa memberikan angka-angka yang lebih teliti, tetapi tidak bisa dengan cepat diambil kesimpulannya. Sedangkan dengan grafik kesimpulan bisa dengan cepat diambil tetapi angka-angkanya kurang teliti.

                

Contoh tabel frekuensi:

1.      Tabel frekuensi 1 arah

                 Tabel 1: Banyaknya mahasiswa STIS Jakarta

                                menurut tingkat/kelas tahun 2005

Tingkat/Kelas	Jumlah (orang)
(1)	(2)
I	256
II	280
III	264
IV	190
Jumlah	990

              Sumber: Bagian Administrasi Akademi Kemahasiswaan STIS

2.      Tabel frekuensi 2 arah

   Tabel 2:    Banyaknya mahasiswa STIS Jakarta menurut tingkat/kelas

                   dan jenis kelamin tahun 2005

Tingkat/Kelas	Laki-laki (orang)	Perempuan (orang)	Jumlah (orang)
(1)	(2)	(3)	(4)
I	116	140	256
II	126	154	280
III	118	146	264
IV	85	105	190
Jumlah	445	545	990

    Sumber: Bagian Administrasi Akademi Kemahasiswaan STIS

3.      Tabel frekuensi 3 arah

Tabel 3:   Banyaknya mahasiswa STIS Jakarta menurut tingkat/kelas, jenis kelamin, dan wilayah tempat tinggal di Jabotabek tahun 2005

Wilayah Jabotabek	Tk I		TK II		TK III		TK IV		Jumlah
	L	P	L	P	L	P	L	P
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)
1. Jakarta Utara	1	1	2	1					5
2. Jakarta Barat			1		2	2	1	2	8
3. Jakarta Pusat	1		1	1	1	1			5
4. Jakarta Selatan		1			1		3	2	7
5. Jakarta Timur	111	136	119	149	107	137	74	95	928
6. Bogor	1				3	2	2	2	10
7. Tangerang	2	1	1	1	2	1	2	1	11
8. Bekasi		1	2	2	2	3	3	3	16
Jumlah	116	140	126	154	118	146	85	105	990

Sumber: Bagian Administrasi Akademik, STIS          

Grafik Garis:

Jumlah

                  Sumber: Bagian Administrasi Akademik, STIS

                Grafik Batang:

Jumlah

                  Sumber: Bagian Administrasi Akademik, STIS

                 

Diagram Lingkaran:

                Sumber: Bagian Administrasi Akademik, STIS

Data berkala (time series) yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk mengetahui perkembangan suatu hal/kegiatan, biasanya disajikan dalam bentuk grafik garis untuk memudahkan pembuatan trend.

Grafik lingkaran akan lebih tepat apabila kita hendak mengetahui perbandingan nilai-nilai karakteristik yang satu dengan yang lain dan dengan keseluruhannya.

1.4.2. Tabel Distribusi Frekuensi dan Grafik

Jenis Tabel:    -       Tabel Distribusi Frekuensi

-       Tabel Distribusi Frekuensi Relatif

-       Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

-       Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif “kurang dari”

-       Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif “lebih dari”

1.    Tabel Distribusi Frekuensi

      Kelas dari Distribusi Frekuensi

1)      Limit kelas:

-          Batas atas (<25, 29, 39, dst)

-          Batas bawah (25, 30, 35, dst)

2)      Tepi kelas:

-          tepi atas: batas atas + 0,5

-          tepi bawah: batas bawah – 0,5

3)      Nilai tengah kelas (nilai kelas): (25+29)/2=27; 32; 37; 42; dst.

4)      Interval kelas: 30 – 25 = 5 atau 35 – 30 = 5 dst

5)      Jumlah kelas: 7

Tabel 4: Distribusi Frekuensi Pegawai STIS menurut

   golongan umur, tahun 2004

Umur (Tahun)	Jumlah (Frekuensi)
< 25	3
25 – 29	7
30 – 34	13
35 – 39	17
40 – 44	15
45 – 49	7
50 +	5
Jumlah	67

            Sumber: Bagian Administrasi Umum, STIS

Cara membuat tabel distribusi frekuensi

Contoh: n = 67

1.      Menentukan jumlah kelas (k)

a. Dengan menggunakan rumus Sturges:

k = 1 + 3,3 log n

         = 1 + 3,3 log 67 = 7,04 » 7

b. Cara lain: 2^k = n

2.      Menentukan interval kelas (I)

=4,43 » 5

3.      Menentukan batas bawah dan batas atas kelas

HISTOGRAM

Polygon

2. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif:

Tabel 5: Distribusi Frekuensi Relatif Pegawai STIS

menurut Golongan Umur Tahun 2004

Umur (Tahun)	Frekuensi (f)	F Relatif
20 – 24	3	3/67 = 4, 48%
25 – 29	7	7/67 = …%
30 – 34	13	13/67 = …%
35 – 39	17	17/67 = …%
40 – 44	15	15/67 = …%
45 – 49	7	7/67 = …%
50 – 54	5	5/67 = …%
Jumlah	67	100

Sumber: Data Tabel 4

3. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif:

Tabel 6: Distribusi Frekuensi Kumulatif Pegawai STIS

menurut Golongan Umur Tahun 2004

Umur (Tahun)	Frekuensi (f)	F Kumulatif
20 – 24	3	3
25 – 29	7	10
30 – 34	13	23
35 – 39	17	40
40 – 44	15	55
45 – 49	7	62
50 – 54	5	67
Jumlah	67

Sumber: Data Tabel 4
4. Tabel Distribusi Kumulatif ‘kurang dari’:

Tabel 7: Distribusi Frekuensi Kumulatif “kurang dari”

              Pegawai STIS menurut Golongan Umur  Tahun 2004

Umur (Tahun)	F kurang dari
Kurang dari 19,5	0
Kurang dari 24,5	3
Kurang dari 29,5	10
Kurang dari 34,5	23
Kurang dari 39,5	40
Kurang dari 44,5	55
Kurang dari 49,5	62
Kurang dari 54,5	67

Sumber: Data Tabel 4

5. Tabel Distribusi Kumulatif ‘lebih dari’:

Tabel 8: Distribusi Frekuensi Kumulatif “lebih dari”

Pegawai STIS menurut Golongan Umur Tahun 2004

Umur (Tahun)	F lebih dari
Lebih dari 20/
20 atau lebih	67
25 atau lebih	64
30 atau lebih	57
35 atau lebih	44
40 atau lebih	27
45 atau lebih	12
50 atau lebih	5
55 atau lebih	0

Sumber: Data Tabel 4

Kurva Lorenz

Kegunaan: Untuk melihat apakah distribusi pendapatan suatu negara/daerah/perusahaan sudah merata?

        Contoh:

Tabel 9: Distribusi Persentase Pendapatan

% Penduduk Golongan Pendapatan	% Pendapatan	% Kumulatif
20 % ke-1	2,7	2,7
20 % ke-2	6,6	9,3
20 % ke-3	10,8	20,1
20 % ke-4	18,1	38,2
20 % ke-5	61,8	100
Jumlah	100

Gini Ratio (GR) =

Jika GR » 0 ® distribusi pendapatannya merata

Jika GR » 1 ® distribusi pendapatannya tidak merata
BAB 2

PENGUKURAN LOKASI DAN DISPERSI

Berbagai macam pengukuran nilai sentral dan dispersi baik dari data asal (yang belum di kelompokkan) maupun dari data yang sudah di kelompokkan (distribusi frekuensi).

2.1. Data yang belum di kelompokkan

1. Rata-rata:            a. rata-rata hitung              - tidak tertimbang

                    b. rata-rata ukur                 - tertimbang

                    c. rata-rata harmonis

2. Median

3. Modus

4. Kuartil

5. Desil

6. Persentil

7. Rentang

2.1.1. Rata-rata Hitung, Rata-rata Ukur, dan Rata-rata Harmonis

a. Rata-rata hitung tidak tertimbang

Contoh: Produksi barang A (x) mulai dari bulan Januari sampai dengan Desember 2002 (dalam ton) sebagai berikut:

3,5 ; 3 ; 4 ; 4 ; 3 ; 4 ; 4,5 ; 4,5 ; 5 ; 3 ; 4 ; 5.; n = 12

 

           

b. Rata-rata hitung tertimbang

Contoh: Data 2.1.1.a

Produksi (xi)		Hari Kerja (wi­)		(xi wi)
3,5		20		70
3		18		54
4		22		88
4		21		84
3		19		57
4		21		84
4,5		22		99
4,5		21		94,5
5		21		105
3		17		51
4		21		84
5		23		115
		246		985,5

        c. Rata-rata Ukur (Gm)

 

Gm =

Log Gm = log (x₁.x₂…x_n)^1/n = 1/n log (x₁.x₂…x_n) = 1/n (log x₁ + log x₂ + … + log x_n)

 

 

Gm = anti log 

Contoh: Ingin mengukur tingkat perubahan pinjaman pertahun

                            Jumlah pinjaman:  tahun 2000 =    1,086  milyar

tahun 2001 =    2,041 milyar

tahun 2002 =  24,669 milyar

                            Perubahan dari tahun 2000 – 2001 =    1,879

Perubahan dari tahun 2001 – 2002 =  12,086

Rata-rata perubahan = Gm =  

 

Jika dibandingkan dengan menggunakan

     

Dengan menggunakan Gm:

-       pinjaman tahun 2001 menjadi (1,086)(4,765) = 5,175 m

-       pinjaman tahun 2002 menjadi (5,175)(4,765) = 24,659 m

                                          Dengan menggunakan :

-       pinjaman tahun 2001 menjadi (1,086)(6,983) = 7,584 m

-       pinjaman tahun 2002 menjadi (7,584)(6,983) = 52,959 m

d. Rata-rata Ukur untuk Tingkat Bunga Majemuk (compound interest) = r

   

    r = persentase tingkat perubahan

    p_o = jumlah tabungan/investasi awal tahun

    p_n = jumlah tabungan/investasi akhir tahun

    n = banyaknya waktu (tahun)

        e. Rata-rata harmonis sederhana (r)

 

Rumus rata-rata harmonis merupakan ratio.

Pembilang merupakan angka yang tetap (n), sedangkan penyebutnya merupakan angka yang bervariasi (x_i).

Contoh:

A membeli minyak goreng Bimoli dengan harga Rp.   8.000,- per kg

B membeli minyak goreng Bimoli dengan harga Rp. 10.000,- per kg

C membeli minyak goreng Bimoli dengan harga Rp.   4.000,- per kg

Dengan dana 40.000 àA memperoleh 5 kg Bimoli

                                        B memperoleh 4 kg Bimoli

                                        C memperoleh 10 kg Bimoli

Dana yang dikeluarkan seluruhnya = Rp. 120.000,-

Bimoli yang diperoleh seluruhnya = 19 kg

= Rp. 6.316. à rata-rata harga Bimoli/kg yang dibayar.

  

 

 

Dengan memakai , rata-rata harga Bimoli per kg =  rupiah

        f.  Rata-rata harmonis tertimbang (r_h)

 

                           ; W_i = penimbang

2.1.2.      Median (Me) dan Modus

a. Median

Penggunaan Me akan praktis dan efisien bila n cukup besar. Me biasanya sangat umum digunakan pada data kualitatif. Pada data kuantitatif, nilai Me tidak dipengaruhi oleh data yang ekstrim. Data sel diurutkan dari terkecil ke terbesar.

-  Jumlah data genap: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ à n = 8

                                                                                 k = (n+1)/2 = 9/2 = 4,5

       Median = (x_k + x_k+1)/2 = (x₄ +x₅)/2

-     Jumlah data ganjil: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉ à n = 9; (k+1)/2=5

Median = X₅

b. Modus

Nilai yang mempunyai frekuensi terbanyak

                               

2.1.3.      Kuartil, Desil dan Persentil

a. Kuartil (q_i)

Untuk mendapatkan kuartil ke-i (q_i)caranya adalah dengan membagi data yang telah diurutkan dari kecil ke besar menjadi 4 bagian yang sama.

x₁    x₂    x₃   x₄   x₅   x₆    x₇    x₈             Letak qi = urutan  ; i = 1,2,3

2     5    8   10  11 14   17  20                                                       

              

Letak q1 = urutan ke  =  urutan ke  = = 2¼

Nilai yang ke 2¼ terletak antara x₂ dan x₃.

   Jadi q₁ = 5 +  = 5,75

   Letak q₂ = urutan ke   urutan ke  = =  4½

Jadi q₂ = 10 + ½ (11 – 10) = 10,5 = median

b. Desil (D_i)

Untuk mendapatkan desil ke-i (D_i) caranya adalah dengan membagi data yang sudah diurutkan dari kecil ke besar menjadi 10 bagian.

                                   

Letak D_i = urutan ke , i = 1, 2, 3, …, 9

                                       

Contoh: x₁  x₂    x₃    x₄    x₅    x₆    x₇    x₈    x₉    x₁₀   x₁₁    x₁₂   x₁₃    x₁₄   x₁₅

-  Letak D₂ = urutan ke 

    Jadi D₂   =    

-  Letak D₉ urutan ke

                 Jadi D₉ =

c. Persentil (P_i)

Untuk mendapatkan persentil ke-i (P_i) caranya adalah dengan membagi data yang sudah diurutkan dari kecil ke besar menjadi 100 bagian.

Letak P_i = urutan ke ;  i = 1, 2, 3, 4, 5, …, 99

Letak P₇₇ = urutan ke

Jadi P₇₇ = 

2.1.4.      Rentang, simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku

a. Rentang (Range):

-     Adalah jenis pengukuran Dispersi secara kasar, cepat dan sederhana, yaitu dengan cara menghitung selisih dari 2 nilai ekstrim besar dan ekstrim kecil.

-     Rentang antar kuartil = q₃ – q₁

b. Simpangan rata-rata ()

Merupakan pengukuran dispersi yang lebih baik dibanding range karena pengukurannya dengan cara menghitung dispersi setiap nilai observasi dari rata-ratanya.

 dimana:            x_i = nilai hasil observasi

                                           = rata-rata hitung

Contoh: Observasi ke 1 : x_i = 10 ; 5 ; 3 ; 6  à   = 6

              Observasi ke 2 : x_i =   6 ; 5 ; 7 ; 6  à   = 6

Rata-rata hitung masing-masing observasi sama besar, mana yang lebih represen tative mewakili hasil observasinya? Bisa dilihat dari tingkat dispersinya.

Dari hasil observasi ke 1 :

Dari hasil observasi ke 2 :

Dengan demikian hasil observasi ke 2 lebih baik dibanding hasil observasi ke 1 karena    observasi ke 2 <  observasi ke 1. Fluktuasi/deviasi hasil observasi ke 2 hanya ½ besarnya dari   -nya.

Variasi dari data hasil observasi penting diperhatikan untuk melihat seberapa jauh/besar deviasi nilai-nilai hasil observasi dari rata-ratanya. Misalnya mengenai nilai ujian mahasiswa pada mata kuliah tertentu, hasil produksi suatu komoditi di beberapa kota, dan sebagainya.

c. Ragam (Variance): s ²  ;  s²

 

Dipergunakan pembagi n – 1 bila sampel (n) nya kecil < 100 agar estimasi s² tidak bias. Kalau sampelnya besar pembaginya n.

Simpang baku : s , s (standar deviasi)

 

2.2. Data yang sudah di kelompokkan

2.2.1.      Rata-rata Hitung, Rata-rata Ukur

a. Rata-rata hitung ()

 

                                                fi = frekuensi kelas ke i

                                                xi = nilai tengah kelas ke i

                                                i   = 1, 2, 3, …, k

b. Rata-rata ukur (Gm)

                                                                                                                                                                          

                                                                                   

x_i = nilai tengah kelas ke i

f_i = frekuensi kelas ke i

                                                                                                                                   

2.2.2.      Median dan Modus

a. Median (Me)

 

 

        B_e        =  tepi bawah kelas M_c;

                       kelas M_e = kelas yang nilai kumulatifnya mencakup nilai n/2

        I_e        =  interval kelas M_e

              F_(e-1)   =  frekuensi kumulatif sebelum kelas M_e

        F_e       =  frekuensi kumulatif di kelas median

b. Modus (Mo)

     B_o     = tepi bawah kelas yang memuat Mo;

                  kelas yang memuat Mo = kelas yang frekuensinya terbanyak

     I_o      =  interval kelas Mo

     f_o      =  frekuensi kelas yang memuat Mo

     f_o-1    =  frekuensi kelas sebelum kelas Mo

     f_o+1   =  frekuensi kelas sesudah kelas Mo

2.2.3.      Kuartil (Q_i), Desil (D_i), dan Persentil (P_i)

a. Quartil (Q_i)

 

B_qi            = tepi bawah kelas kuartil ke-i

                    Kelas kuartil ke-i = kelas yang nilai kumulatifnya mencakup nilai

I_qi       = interval

F_qi-1    = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

F_qi      = frekuensi kumulatif kelas kuartil ke-i

b. Desil (Di)

c. Persentil (Pi)

2.2.4.      Rentang, simpangan rata-rata, ragam dan simpangan baku

a. Rentang (Range)

R = X₁ – X_k

X₁ = nilai tengah kelas ke-1

X_k = nilai tengah kelas terakhir

b. Simpangan rata-rata

                                         dimana:           f_i = frekuensi kelas ke i

                                                                 x_i = nilai tengah kelas ke i

                                                                  = rata-rata hitung data berkelompok

c. Ragam (Variance):   s²

                                          dimana:   x_i  = nilai tengah kelas ke i

                                                             = rata-rata hitung

                                                           f_i   = frekuensi kelas ke i

d. Simpang baku : s , s

 

Variance dan simpang baku lebih populer digunakan dibanding  atau range.

2.3.      Koefisien Keragaman  (Koefisien Variasi) = KV

KV adalah suatu model pengukuran dispersi atas dasar pengertian relatif, bukan absolut. Pengukuran ini dipakai untuk membandingkan tingkat keragaman/variasi beberapa distribusi data (baik n nya sama banyak atau tidak sama banyak) yang unit pengukurannya berbeda.

Contohnya:    Harga ayam (Rp/ekor/kg)

                                                                                                                        Harga minyak tanah (Rp/liter)

Harga mana yang lebih bervariasi dari ke dua jenis komoditi ini?

Karena unit harga ayam adalah per ekor sedangkan unit harga minyak tanah adalah per liter maka untuk membandingkan jenis barang mana yang harganya bervariasi dipakai cara pengukuran koefisien variasi.

Jika KV_Ayam < KV_{Minyak Tanah} maka yang lebih bervariasi adalah harga komoditi minyak tanah.

BAB 3

PENGUKURAN KEMENCENGAN DAN KERUNCINGAN

3.1. Pengukuran Keruncingan

Dari hasil suatu observasi, nilai-nilai variabel yang diperoleh dapat digambarkan kurvanya. Dari data yang sudah dikelompokkan dapat dibuat histogram, poligon, kemudian dapat dilihat bentuk kurvanya.

Bentuk-bentuk kurva/distribusi:

1. Normal

 

                                      Me =  = Mo

            Artinya Me =  = Mo, bentuknya simetris, banyaknya nilai yang > dari Me//Mo = banyaknya nilai yang < dari Me//Mo.

Ada bermacam-macam bentuk kurva normal menurut keruncingannya:

a.       Distribusi normal leptokurtik

Puncaknya tinggi/runcing artinya frekuensi yang terbanyak ada pada/ terkonsentrasi pada bagian tengah distribusi.
Contoh:

Kelas	Frekuensi
1	3
2	4
3	16
4	54
5	16
6	4
7	3
	100

Kalau digambarkan kurvanya adalah sebagai berikut:

 

b.      Jika frekuensi terbanyak terdapat pada 3 kelas bagian tengah distribusi disebut normal platikurtik.

Contoh:

Kelas	Frekuensi
1	1
2	7
3	26
4	32
5	26
6	7
7	1
	100

Gambar kurvanya sebagai berikut:

 

c.       Distribusi normal (mesokurtik) adalah distribusi yang puncaknya tidak runcing juga tidak mendatar.

Untuk menentukan keruncingan suatu distribusi, apakah lepto, meso, atau platikurtik, dapat dihitung dengan cara menghitung a₄.

Data berkelompok:

Xi = nilai tengah kelas ke-i

 = rata-rata hitung

fi  = frekuensi kelas ke-i

s  = simpangan baku

Data tidak berkelompok:

Xi = data hasil observasi

 = rata-rata hitung

s  = simpangan baku

Jika a₄>3 ® kurva berbentuk leptokurtik

Jika a₄<3 ® kurva berbentuk platikurtik

Jika a₄=3 ® kurva berbentuk mesokurtik (normal)

3.2. Pengukuran Kemencengan

Jika dari suatu hasil observasi nilai-nilai yang lebih kecil dari  nya > dari nilai-nilai yang lebih besar dari ; maka bentuk distribusinya menceng kekanan. ( dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim).

                f

                     nm     Mo Me                                                        X

Dan sebaliknya, jika nilai-nilai yang lebih kecil dari  < dari nilai-nilai yang lebih besar dari , maka bentuk distribusinya menceng kekiri.

                        f

                                                       Me Mo                       X

Untuk mengukur apakah suatu distribusi menceng atau simetris dapat diukur dengan suatu formula yaitu dengan rumus Koefisien Pearson (Karl Pearson).

 Atau

Kalau S_k = + (positif) ® kemencengan positif artinya ekor sebelah kanan distribusi lebih menjulur dibandingkan ekor sebelah kirinya. Dan sebaliknya adalah S_k= - (negatif). Cara lain menghitung kemencengan bisa dengan memakai moment ke-3 atau lainnya (Rumus Bowley).

Begitu juga cara lain menghitung kurtosis bisa dengan memakai moment, atau kuartil atau lainnya. Pada kurva yang menceng (kiri/kanan) juga bisa dilihat kurtosisnya, ini tidak penting. Tapi perhitungan kurtosis/skewness ini akan penting untuk menentukan apakah suatu distribusi normal atau tidak (l², poisson dll). Jika normal maka penghitungan-penghitungan statistiknya dapat memakai rumus-rumus yang berkaitan dengan normalitas.